पाई (Find Out! What Is Pi)

 

पाई

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एपाई ट π एक गणितीय नियतांक (गणितीय नियतांक वह संख्या है जो गणित में स्वभावत: उत्पन्न होती हैं। उदाहरण - पाई (π), आयलर संख्या ई (e) आदि।) है जिसका ए संख्यात्मक मान किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के बराबर होता है। इस अनुपातईऑपी π संकेत का प्रयोग सर्वप्रथम सन् १७०६ में विलियम जोन्स ने सुझाया। इसका मान लगभग 3.14159 के बराबर होता है। यह एक अपरिमेय राशि है।

पाई सबसे महत्वपूर्ण गणितीय एवं भौतिक नियतांकों में से एक है। गणित, विज्ञान एवं इंजीनियरी के बहुत से सूत्रों में π आता है।

गणितीय नियतांक π पर लेख श्रृंखला का एक भाग

गणितीय नियतांक π

उपयोग

चकती का क्षेत्रफल  • परिधि  • अन्य सूत्रों में प्रयोग

गुणधर्म

अपरिमेयता  • उत्कृष्टता

परिमाण

२२/७ से कम  • सन्निकटन  • स्मृतिकरण

लोग

आर्यभट • आर्किमिडिज़  • लियू हुई  • जू चोंग्ज्ही  • संगमग्राम के माधव  • विलियम जोन्स  • जॉन मेचिन  • जॉन रिंच  • लुडॉल्फ वान स्युलेन

इतिहास

कालक्रम  • पुस्तकें

संस्कृति में

कानून  • π दिवस

सम्बंधित विषय

वृत का वर्गफलीकरण  • बेसल समस्या  • फाइनमेन बिन्दु  • π से सम्बंधित अन्य विषय

इतिहास

पुरातन

2589–2566 ई. पूर्व बने गीजा की महान पिरामिड का परिमाप १७६० क्यूबिट और ऊंचाई २८० क्यूबिट थी; जिसका अनुपात १७६०/२८० ≈ ६.२८५७ पाई के मान के लगभग २ गुणा है। इस अनुपात के आधार पर, कुछ मिस्रविद्य मानते हैं कि पिरामिड बनाने वाले π का ज्ञान रखते थे और वृत के गुणधर्मों को निगमित करने वाले पिरामिड जान - बूझकर बनाए। अन्य मतों के अनुसार π से सम्बंधित उपरोक्त सुझाव केवल संयोग है, क्योंकि इसका कोई प्रमाण उपलब्द्ध नहीं है कि पिरामिड बनाने वालों को π के बारे में जानकारी थी और चूंकि पिरामिड की विमाएं अन्य कारकों पर भी निर्भर करती हैं।

π के शीघ्रातिशीघ्र लिखित सन्निकट मिस्र और बाबिल में मिले हैं, ये दोनों माप १ प्रतिशत की शुद्धता के साथ हैं। बाबिल में ई. पूर्व १९००-१६०० दिनांक वाली क्ले गोली पर ज्यामितीय कथन है कि π का निहित अर्थ २५/८=३.१२५० है। मिस्र में ई. पूर्व १६५० दिनांकित, en:Rhind Papyrus, परन्तु यह ई. पूर्व १८५० दिनांकित एक लेखपत्र की प्रतिलिपी है जिसमें वृत के क्षेत्रफल का सूत्र दिया गया है जो π को (१६/९)^२ ≈ ३.१६०५ के रूप में उपयोग करता है।^[4]

भारतीय गणित में पाई

भारत में ई. पूर्व ६०० में शुल्ब सूत्रों (संस्कृत ग्रन्थ जो गणितिय गणनाओं में बहुत पहुँचे हुए हैं।) में π को (९७८५/५५६८)^२ ≈ ३.०८८ लिखा गया है। ई. पूर्व १५९ अथवा शायद इससे भी पहले में भारतीय स्रोत π को {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}} ≈ ३.१६२२ लिखते थे।

आर्यभट ने निम्नलिखित श्लोक में पाई का मान दिया है-

चतुराधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्त्राणाम्।

अयुतद्वयस्य विष्कम्भस्य आसन्नौ वृत्तपरिणाहः॥

१०० में चार जोड़ें, आठ से गुणा करें और फिर ६२००० जोड़ें। इस नियम से २०००० परिधि के एक वृत्त का व्यास ज्ञात किया जा सकता है।

( (१००+४)*८+६२०००/२००००=३.१४१६ )

इसके अनुसार व्यास और परिधि का अनुपात ((४ + १००) × ८ + ६२०००) / २०००० = ३.१४१६ है, जो दशमलव के पाँच अंकों तक बिलकुल टीक है।

** इसके अनुसार Circumference और Diameter का अनुपात ((४ + १००) × ८ + ६२०००) / २०००० = ३.१४१६ है, जो दशमलव के पाँच अंकों तक बिलकुल टीक है।

शंकर वर्मन ने सद्रत्नमाला में पाई का मान निम्नलिखित श्लोक में दिया है, जो कटपयादि प्रणाली का उपयोग करके लिखा गया है-

भद्राम्बुद्धिसिद्धजन्मगणितश्रद्धा स्म यद् भूपगी:

= 3.1415926535897932384626433832795 (इकतीस दशमलव स्थानों तक।)

कुछ प्रमुख भारतीय गणित ग्रन्थों में पाई के मान निम्नलिखित हैं-

शुल्बसूत्र	पाई का मान
1) B.SI. 1-113	3
2) M.SI. 1.27	3.16049
3) M.SI. (मजुमदार)	2.99, 3.029
4) M.SI. 10.1.1.8	3.088
5) M.Si. 10.1.8	3.308
6) K.SI. 3-13	3.0852
7) K.SI. 3-14	3.004
8) B.SI. 1-60	3.004
9) B.SI. 1-59	3.0971
10) द्वारकानाथ यज्वा	3.157991
11) आर्यभटीयम् 2-10	3.1416
12) B.SI. 2-10	3.14159
13) लीलावती (p-277)	3.1415926535
14) K.SI. 3-13	3.088
15) B.SI. 16-6-11	3.114

 

गणितीय नियतांक

गणितीय नियतांक (mathematical constant) वह संख्या (प्राय: वास्तविक संख्या) है जो गणित में स्वभावत: उत्पन्न होती हैं। उदाहरण - पाई (π), आयलर संख्या ई (e) आदि।

नियतांक एवं श्रेणियाँ

—तालिका संरचना--

·         मान : नियतांक का संख्यात्मक मान

·         लैटेक्स (LaTeX): TeX प्रारूप में सूत्र या श्रेणी

·         सूत्र: मैथमैटिका (Mathematica) या वुल्फ्रैम अल्फा (Wolfram Alpha) आदि में प्रयोग के लिए

·         OEIS: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

·         सतत भिन्न: सरल प्रारूप [to integer; frac1, frac2, frac3, ...] में। (यदि आवर्ती हो तो कोष्टक में)

·         Nº:

o    R - परिमेय संख्या

o    I - अपरिमेय संख्या

o    T - प्रागनुभविक संख्या (Transcendental number)

o    C - समिश्र संख्या

इस सूची के 'मान', 'नाम', 'OEIS' आदि पर क्लिक करके इस सूची को आवश्यकतानुसार क्रमित (ordered) कर सकते हैं।

मान	नाम	संकेत	LaTeX	सूत्र	Nº	OEIS	सतत भिन्न
3.62560990822190831193068515586767200	गामा (1/4)	{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})}	{\displaystyle 4\left({\frac {1}{4}}\right)!=\left(-{\frac {3}{4}}\right)!}	4(1/4)!	T	A068466	[3;1,1,1,2,25,4,9,1,1,8,4,1,6,1,1,19,1,1,4,1,...]
0.95531661812450927816385710251575775	जादुई कोण (Magic angle)	{\displaystyle {\theta _{m}}}	{\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)=\arccos \left({\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\right)\approx \textstyle {54.7356}^{\circ }}	arctan(sqrt(2))	I	A195696	[0;1,21,2,1,1,1,2,1,2,2,4,1,2,9,1,2,1,1,1,3,...]
1.44466786100976613365833910859643022	Steiner number, Iterated Exponential Constant	{\displaystyle {e}^{\frac {1}{e}}}	{\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\color {white}...........\color {black}} = Upper Limit of Tetration	e^(1/e)	T	A073229	[1;2,4,55,27,1,1,16,9,3,2,8,3,2,1,1,4,1,9,...]
0.69220062755534635386542199718278976	Minimum value of función ƒ(x) = xx	{\displaystyle {\left({\frac {1}{e}}\right)}^{\frac {1}{e}}}	{\displaystyle {e}^{-{\frac {1}{e}}}\color {white}..........\color {black}} = Inverse Steiner Number	e^(-1/e)	T	A072364	[0;1,2,4,55,27,1,1,16,9,3,2,8,3,2,1,1,4,1,9,...]
0.34053732955099914282627318443290289	Pólya Random Walk constant	{\displaystyle {p(3)}}	{\displaystyle 1-\!\!\left({3 \over (2\pi )^{3}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{dx\,dy\,dz \over 3-\!\cos x-\!\cos y-\!\cos z}\right)^{\!-1}} {\displaystyle =1-16{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\;\pi ^{3}\left(\Gamma ({\tfrac {1}{24}})\Gamma ({\tfrac {5}{24}})\Gamma ({\tfrac {7}{24}})\Gamma ({\tfrac {11}{24}})\right)^{-1}}	1-16*Sqrt[2/3]*Pi^3 /((Gamma[1/24] *Gamma[5/24] *Gamma[7/24] *Gamma[11/24])	T	A086230	[0;2,1,14,1,3,8,1,5,2,7,1,12,1,5,59,1,1,1,3,...]
0.54325896534297670695272829530061323	Bloch-Landau constant	{\displaystyle {L}}	{\displaystyle ={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{3}})\;\Gamma ({\tfrac {5}{6}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{6}})}}={\frac {(-{\tfrac {2}{3}})!\;(-1+{\tfrac {5}{6}})!}{(-1+{\tfrac {1}{6}})!}}}	gamma(1/3) *gamma(5/6) /gamma(1/6)	T	A081760	[0;1,1,5,3,1,1,2,1,1,6,3,1,8,11,2,1,1,27,4,...]
0.18785964246206712024851793405427323	MRB Constant, Marvin Ray Burns	{\displaystyle C_{{}_{MRB}}}	{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }({-}1)^{n}(n^{1/n}{-}1)=-{\sqrt[{1}]{1}}+{\sqrt[{2}]{2}}-{\sqrt[{3}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}\,...}	Sum[n=1 to ∞] {(-1)^n (n^(1/n)-1)}	T	A037077	[0;5,3,10,1,1,4,1,1,1,1,9,1,1,12,2,17,2,2,1,...]
0.74759792025341143517873094383017817	Rényi's Parking Constant	{\displaystyle {m}}	{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }exp\left(\!-2\int \limits _{0}^{x}{\frac {1-e^{-y}}{y}}dy\right)\!dx={e^{-2\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-2\Gamma (0,n)}}{n^{2}}}}	[e^(-2*Gamma)] * Int{n,0,∞}[ e^(- 2 *Gamma(0,n)) /n^2]	T	A050996	[0;1,2,1,25,3,1,2,1,1,12,1,2,1,1,3,1,2,1,43,...]
1.27323954473516268615107010698011489	रामानुजन-फोर्सिथ श्रेणी	{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}}	{\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\textstyle \left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}={1\!+\!\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\!{+}\left({\frac {1}{2\cdot 4}}\right)^{2}\!{+}\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{+}...}}	Sum[n=0 to ∞] {[(2n-3)!! /(2n)!!]^2}	T	A088538	[1;3,1,1,1,15,2,72,1,9,1,17,1,2,1,5,1,1,10,...]
1.46707807943397547289779848470722995	Porter Constant	{\displaystyle {C}}	{\displaystyle {\frac {6\ln 2}{\pi ^{2}}}\left(3\ln 2+4\,\gamma -{\frac {24}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)-2\right)-{\frac {1}{2}}} {\displaystyle \scriptstyle \gamma \,{\text{= Euler–Mascheroni Constant = 0,5772156649...}}} {\displaystyle \scriptstyle \zeta '(2)\,{\text{= Derivative of }}\zeta (2)\,=\,-\!\!\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{2}}}\,{\text{= −0,9375482543...}}}	6*ln2/Pi^2(3*ln2+ 4 EulerGamma- WeierstrassZeta'(2) *24/Pi^2-2)-1/2	T	A086237	[1;2,7,10,1,2,38,5,4,1,4,12,5,1,5,1,2,3,1,...]
4.66920160910299067185320382046620161	Feigenbaum constant δ	{\displaystyle {\delta }}	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+2}-x_{n+1}}}\qquad \scriptstyle x\in (3,8284;\,3,8495)} {\displaystyle \scriptstyle x_{n+1}=\,ax_{n}(1-x_{n})\quad {or}\quad x_{n+1}=\,a\sin(x_{n})}		T	A006890	[4;1,2,43,2,163,2,3,1,1,2,5,1,2,3,80,2,5,...]
2.50290787509589282228390287321821578	Feigenbaum constant α	{\displaystyle \alpha }	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d_{n}}{d_{n+1}}}}		T	A006891	[2;1,1,85,2,8,1,10,16,3,8,9,2,1,40,1,2,3,...]
0.62432998854355087099293638310083724	Golomb–Dickman constant	{\displaystyle {\lambda }}	{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\underset {Para\;x>2}{{\frac {f(x)}{x^{2}}}dx}}=\int \limits _{0}^{1}e^{Li(n)}dn\quad \scriptstyle {\text{Li: Logarithmic integral}}}	N[Int{n,0,1}[e^Li(n)],34]	T	A084945	[0;1,1,1,1,1,22,1,2,3,1,1,11,1,1,2,22,2,6,1,...]
23.1406926327792690057290863679485474	Gelfond constant	{\displaystyle {e}^{\pi }}	{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}={\frac {\pi ^{1}}{1}}+{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+\cdots }	Sum[n=0 to ∞] {(pi^n)/n!}	T	A039661	[23;7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,...]
7.38905609893065022723042746057500781	शंकु नियतांक (Conic constant), Schwarzschild constant	{\displaystyle e^{2}}	{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}=1+2+{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{3}}{3!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}+{\frac {2^{5}}{5!}}+...}	Sum[n=0 to ∞] {2^n/n!}	T	A072334	[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,...] = [7,2, (1,1,n,4*n+6,n+2)], n = 3, 6, 9, etc.
0.35323637185499598454351655043268201	Hafner-Sarnak-McCurley constant (1)	{\displaystyle {\sigma }}	{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left\{1-[1-\prod _{j=1}^{n}{\underset {p_{k}:\,{prime}}{(1-p_{k}^{-j})]^{2}}}\right\}}	prod[k=1 to ∞] {1-(1-prod[j=1 to n] {1-ithprime(k)^-j})^2}	T	A085849	[0;2,1,4,1,10,1,8,1,4,1,2,1,2,1,2,6,1,1,1,3,...]
0.60792710185402662866327677925836583	Hafner-Sarnak-McCurley constant (2)	{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}	{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}{=}\prod _{n=0}^{\infty }{\underset {p_{n}:\,{prime}}{\left(1-{\frac {1}{{p_{n}}^{2}}}\right)}}{=}\textstyle \left(1{-}{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1{-}{\frac {1}{3^{2}}}\right)\left(1{-}{\frac {1}{5^{2}}}\right)...}	Prod{n=1 to ∞} (1-1/ithprime (n)^2)	T	A059956	[0;1,1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,3,4,10,1,2,1,1,1,...]
1.58496250072115618145373894394781651	Hausdorff dimension, Sierpinski triangle	{\displaystyle {log_{2}3}}	{\displaystyle {\frac {log3}{log2}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n+1}(2n+1)}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{2n+1}(2n+1)}}}}={\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{160}}+...}{{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{81}}+{\frac {1}{1215}}+...}}}	(Sum[n=0 to ∞] {1/ (2^(2n+1) (2n+1))})/ (Sum[n=0 to ∞] {1/ (3^(2n+1) (2n+1))})	T	A020857	[1;1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,1,4,3,1,1,...]
0.12345678910111213141516171819202123	Champernowne constant	{\displaystyle C_{10}}	{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\;\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{kn-9\sum _{j=0}^{n-1}10^{j}(n-j-1)}}}}		T	A033307	[0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,...]
0.76422365358922066299069873125009232	Landau-Ramanujan constant	{\displaystyle K}	{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3\!\!\!\!\!\mod \!4}\!\!{\underset {\!\!\!\!\!\!\!\!p:\,{prime}}{\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}}\!\!={\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1\!\!\!\!\!\mod \!4}\!\!{\underset {\!\!\!\!p:\,{prime}}{\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}}}		T	A064533	[0;1,3,4,6,1,15,1,2,2,3,1,23,3,1,1,3,1,1,6,4,...]
0.11000100000000000000000100...	Liouville number	{\displaystyle {\text{£}}_{Li}}	{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n!}}}={\frac {1}{10^{1!}}}+{\frac {1}{10^{2!}}}+{\frac {1}{10^{3!}}}+{\frac {1}{10^{4!}}}+...}	Sum[n=1 to ∞] {10^(-n!)}	T	A012245	[1;9,1,999,10,9999999999999,1,9,999,1,9]
1.9287800...	राइट नियतांक (Wright constant)	{\displaystyle {\omega }}	{\displaystyle \left\lfloor 2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{2^{\omega }}}}}}\!\right\rfloor \scriptstyle {\text{= primes:}}\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor \scriptstyle {\text{=3,}}\displaystyle \left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor \scriptstyle {\text{=13,}}\displaystyle \left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor \scriptstyle {\text{=16381, ...}}}			A086238	[1; 1, 13, 24, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 3]
2.71828182845904523536028747135266250	Number e, Euler's number	{\displaystyle {e}}	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\!\left(1{+}{\frac {1}{n}}\right)^{n}\!\!{=}\!\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...}	Sum[n=0 to ∞] {1/n!}	T	A001113	[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,...] = [2;(1,2p,1)], p∈ℕ
0.36787944117144232159552377016146086	Reverse of Number e	{\displaystyle {\frac {1}{e}}}	{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{5!}}+...}	Sum[n=2 to ∞] {(-1)^n/n!}	T	A068985	[0;2,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,...] = [0;2,1, (1,2p,1)], p∈ℕ
0.6903471261...	Upper iterated exponential	{\displaystyle {H}_{2n+1}}	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{H}_{2n+1}=\textstyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{\left({\frac {1}{3}}\right)^{\left({\frac {1}{4}}\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\left({\frac {1}{2n+1}}\right)}}}}}={2}^{-3^{-4^{\cdot ^{\cdot ^{-2n-1}}}}}}	2^-3^-4^-5^-6^ -7^-8^-9^-10^ -11^-12^-13 …	T		[0;1,2,4,2,1,3,1,2,2,1,4,1,2,4,61,5,...]
0.6583655992...	Lower límit iterated exponential	{\displaystyle {H}_{2n}}	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{H}_{2n}=\textstyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{\left({\frac {1}{3}}\right)^{\left({\frac {1}{4}}\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\left({\frac {1}{2n}}\right)}}}}}={2}^{-3^{-4^{\cdot ^{\cdot ^{-2n}}}}}}	2^-3^-4^-5^-6^ -7^-8^-9^-10^ -11^-12 …	T		[0;1,1,1,12,1,2,1,1,4,3,1,1,2,1,2,1,51,2,2,1,...]
0.63661977236758134307553505349005745	2/Pi, François Viète product	{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}	{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }		T	A060294	[0;1,1,1,3,31,1,145,1,4,2,8,1,6,1,2,3,1,4,...]
3.14159265358979323846264338327950288	π number, Archimedes number	{\displaystyle {\pi }}	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}}	Sum[n=0 to ∞] {(-1)^n 4/(2n+1)}	T	A000796	[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,...]
1.902160583104	Brun 2 constant = Σ inverse of Twin primes	{\displaystyle {B}_{\,2}}	{\displaystyle \textstyle {\underset {p,\,p+2:\,{prime}}{\sum ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}})}}=({\frac {1}{3}}{+}{\frac {1}{5}})+({\tfrac {1}{5}}{+}{\tfrac {1}{7}})+({\tfrac {1}{11}}{+}{\tfrac {1}{13}})+...}			A065421	[1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 4, 2, 2]
0.870588379975	Brun 4 constant = Σ inv.prime quadruplets	{\displaystyle {B}_{\,4}}	{\displaystyle \textstyle {\sum ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}+{\frac {1}{p+4}}+{\frac {1}{p+6}})}\scriptstyle \quad {p,\;p+2,\;p+4,\;p+6:\;{prime}}} {\displaystyle \textstyle {\left({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}\right)}+\left({\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}\right)+\dots }			A213007	[0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 3, 1, 1]
0.46364760900080611621425623146121440	Machin-Gregory serie	{\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}}	{\displaystyle {\underset {For\;x=1/2\qquad \qquad }{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}={\frac {1}{2}}-\!{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}{+}{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}-\!{\frac {1}{7\cdot 2^{7}}}{+}{...}}}}	Sum[n=0 to ∞] {(-1)^n (1/2)^(2n+1)/(2n+1)}	T	A073000	[0;2,6,2,1,1,1,6,1,2,1,1,2,10,1,2,1,2,1,1,1,...]
0.59634736232319407434107849936927937	Euler-Gompertz constant	{\displaystyle {G}}	{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-n}}{1{+}n}}dn{=}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1{-}\ln n}}dn=\textstyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {2}{1+{\frac {2}{1+{\frac {3}{1+{\frac {3}{1+4{/...}}}}}}}}}}}}}}}}	integral[0 to ∞] {(e^-n)/(1+n)}	T	A073003	[0;1,1,2,10,1,1,4,2,2,13,2,4,1,32,4,8,1,1,1,...]
0.69777465796400798200679059255175260	Continued fraction constant, Bessel function	{\displaystyle {C}_{CF}}	{\displaystyle {\frac {I_{1}(2)}{I_{0}(2)}}={\frac {\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{n!n!}}}{\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!n!}}}}=\textstyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3+{\frac {1}{4+{\frac {1}{5+{\frac {1}{6+1{/...}}}}}}}}}}}}}}	(Sum [n=0 to ∞] {n/(n!n!)}) / (Sum [n=0 to ∞] {1/(n!n!)})		A052119	[0;1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...] = [0;(p+1)], p∈ℕ
0.43828293672703211162697516355126482 + 0.36059247187138548595294052690600 i	Infinite Tetration of i	{\displaystyle {}^{\infty }{i}}	{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{}^{n}i=\lim _{n\to \infty }\underbrace {i^{i^{i^{\cdot ^{\cdot ^{i}}}}}} _{n}={\underset {W:\;Lambert\;function}{{\frac {2}{\pi }}\,i\;W\left(-{\frac {\pi }{2}}i\right)}}}	(2/Pi) i ProductLog[-((Pi/2) i)]		A077589 A077590	[0;2,3,1,1,4,2,2,1,10,2,1,3,1,8,2,1,2,1, ...] + [0;2,1,3,2,2,3,1,5,5,1,2,1,10,10,6,1,1...] i
2.74723827493230433305746518613420282	Ramanujan nested radical	{\displaystyle R_{5}}	{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}\;=\textstyle {\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}}	(2+sqrt(5) +sqrt(15 -6 sqrt(5)))/2	I		[2;1,2,1,21,1,7,2,1,1,2,1,2,1,17,4,4,1,1,4,2,...]
1.01494160640965362502120255427452028	Gieseking constant	{\displaystyle {\pi \ln \beta }}	{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(3n+2)^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(3n+1)^{2}}}\right)=} {\displaystyle \textstyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{10^{2}}}\pm ...\right)}.	sqrt(3)*3/4 *(1 -Sum[n=0 to ∞] {1/((3n+2)^2)} +Sum[n=1 to ∞] {1/((3n+1)^2)})	T	A143298	[1;66,1,12,1,2,1,4,2,1,3,3,1,4,1,56,2,2,11,...]
1.66168794963359412129581892274995074	Somos' quadratic recurrence constant	{\displaystyle {\sigma }}	{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }n^{{1/2}^{n}}={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3\cdots }}}}}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\cdots }	prod[n=1 to ∞] {n ^(1/2)^n}	T	A065481	[1;1,1,1,21,1,1,1,6,4,2,1,1,2,1,3,1,13,13,...]
0.56714329040978387299996866221035555	Omega constant, Lambert W function	{\displaystyle {\Omega }}	{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}=\,\left({\frac {1}{e}}\right)^{\left({\frac {1}{e}}\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\left({\frac {1}{e}}\right)}}}}=e^{-\Omega }={e}^{-e^{-e^{\cdot ^{\cdot ^{-e}}}}}}	Sum[n=1 to ∞] {(-n)^(n-1)/n!}		A030178	[0;1,1,3,4,2,10,4,1,1,1,1,2,7,306,1,5,1,2,1,...]
0.96894614625936938048363484584691860	Beta(3)	{\displaystyle {\beta }(3)}	{\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{32}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-1^{n+1}}{(-1+2n)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}{-}{\frac {1}{3^{3}}}{+}{\frac {1}{5^{3}}}{-}{\frac {1}{7^{3}}}{+}...}	Sum[n=1 to ∞] {(-1)^(n+1) /(-1+2n)^3}	T	A153071	[0;1,31,4,1,18,21,1,1,2,1,2,1,3,6,3,28,1,...]
2.23606797749978969640917366873127624	Square root of 5, Gauss sum	{\displaystyle {\sqrt {5}}}	{\displaystyle \scriptstyle (n=5)\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2k^{2}\pi i}{n}}=1+e^{\frac {2\pi i}{5}}+e^{\frac {8\pi i}{5}}+e^{\frac {18\pi i}{5}}+e^{\frac {32\pi i}{5}}}	Sum[k=0 to 4] {e^(2k^2 pi i/5)}	I	A002163	[2;4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,...] = [2;(4),...]
3.35988566624317755317201130291892717	Prévost constant	{\displaystyle \Psi }	{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+\cdots } Fn: Fibonacci series	Sum[n=1 to ∞] {1/Fibonacci[n]}	I	A079586	[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,...]
2.68545200106530644530971483548179569	Khinchin's constant	{\displaystyle K_{\,0}}	{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left[{1+{1 \over n(n+2)}}\right]^{\ln n/\ln 2}}	Prod[n=1 to ∞] {(1+1/(n(n+2))) ^(ln(n)/ln(2))}	?	A002210	[2;1,2,5,1,1,2,1,1,3,10,2,1,3,2,24,1,3,2,...]

भारतीय गणित में पाई

गणित में पाई या Π सबसे दिलचस्प संख्या है। इसका इतिहास गणित की सबसे आकर्षक कहानियों में से एक है। ज्यामिति, त्रिकोणमिति, विश्लेषण में इसका उपयोग पाता है। आम तौर पर एक सर्कल से जुड़ा होता है। भारतीयों ने सबसे पहले यह देखा कि एक वृत्त की परिधि (परिधि) उसके व्यास के अनुपात में बढ़ती है। इसलिए हमारे पूर्वजों ने संबंध स्थापित किया- परिधि/व्यास = स्थिरांक। हालांकि उन्होंने इसे पाई नहीं कहा।

चूंकि सिंधु घाटी की लिपि का गूढ़ रहस्य नहीं है, इसलिए यह दावा करना गलत होगा कि उपमहाद्वीप में 3000 ईसा पूर्व में जाना जाता था। लेकिन ऋग्वेद लिखे जाने तक वे पाई के मूल्य को जानते थे। वेदांग और सुलबासूत्रों में भी के मूल्य का उल्लेख है। उनमें से सबसे पुराना, बौधायन सुलबासूत्र का दावा है कि एक गड्ढे की परिधि उसके व्यास का ३ गुना है- इसलिए of के मान को ३ पर अनुमानित करता है। महाभारत (भीष्मपर्व, बारहवीं: ४४) और कई पुराणों सहित कई अन्य ग्रंथ लगभग पर हैं। 3 का मान बाद में, कई अन्य सुलबासूत्रों में of का मान 18 * (3 - 2 2) = 3.088 होना बताया गया है। मानव सुलभसूत्र का मान 28/5= 3.125 होने का अनुमान लगाता है। गणित के प्राचीन जैन स्कूल ने सन्निकटन = √10 को प्राथमिकता दी। के इस मूल्य का उपयोग न केवल जैनों द्वारा किया गया है, बल्कि वराहमिहिर, ब्रह्मगुप्त और श्रीधर जैसे महान लोगों द्वारा भी किया गया है।

आर्यभट्ट (476 ई.) के साथ भारत में गणित के एक नए युग का उदय हुआ। आर्यभट्ट अनुमानित = ६२८३२/२०००० = ३.१४१६। यह आश्चर्यजनक रूप से 4 दशमलव स्थानों के लिए सही था (22/7 से बेहतर, जो केवल 2 स्थानों के लिए सही है)। (√10, 62832/20000) के भारतीय मूल्यों को बाद में चीनी और अरब साहित्य में शामिल किया गया।

कई वर्षों बाद आर्यभट्ट गणित के एक और महान गणितज्ञ का नाम माधव (1340 ई.) माधव ने Π का मान 2827,4333,8823,3 / 9*1011 दिया। यह सन्निकटन से 11 दशमलव स्थानों का सही मान देता है। आधुनिक गणित में Π का यह मान अभी भी प्रयोग में है। माधव /4 की माधव शृंखला को भी जानते थे, जिसे यूरोप में लाइबनिज ने 1673 में फिर से खोजा था।

पाई के पीछे का आकर्षण किसी भी सभ्यता से अधिक समय तक रहा है। ऐसी है जिज्ञासा और ज्ञान की शक्ति।